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Ecole Doctorale Mécanique et Energétique

Modélisation nanométrique de la rhéologie des fluides complexes

Développement du sujet de recherche

La façon avec laquelle on décrit un comportement aux petites échelles se base sur (i) une cinématique relative à chaque particule et sur (ii) l'évolution d'une distribution de probabilité sur l'espace des configurations de cette particule [3]. A partir d'une distribution de probabilité, on peut effectuer un passage au niveau macroscopique au travers d'un calcul du tenseur des contraintes donnant la contribution microscopique. La cinématique de chaque particule est décrite avec le terme hydrodynamique et le terme d'efforts d'interactions. Les termes qui découlent des effets browniens sont pris en compte dans le terme diffusif de l'équation de convection diffusion caractérisant l'évolution de la distribution de probabilité (appelée équation de Fokker-Planck, voir [6] par exemple).

Certains modèles nanométriques permettent de rendre compte des phénomènes de flexibilité de la chaîne de polymères comme, par exemple, les modèles de type multi-haltère. Ces modèles sont caractérisés par des chaînes formées par l'association de N haltères (N+1 nœuds et N connecteurs extensibles). L'écriture des équations d'évolution [4] se présente sous la forme d'une équation de Fokker-Planck caractérisée par sa définition dans un espace de probabilité de dimension élevée. Par exemple, lors de l'association de deux haltères (N=2) nous définissions un problème de dimension 6. En effet, pour chaque position du premier haltère dans l'espace de dimension 3 il existe une infinité de positions du second haltère dans un espace de dimension 3 également. Pour une chaîne à trois haltères nous définissions un problème de dimension 9 ...

Récemment, nous avons proposé [1,2,5] une nouvelle technique numérique capable de résoudre des modèles jusqu'à présent jamais résolus, et définis dans des espace de dimension élevée.

En dessous de l'échelle nanométrique les effets quantiques gouvernent l'état de la matière et par conséquent affectent la description la plus fine des matériaux. A cette échelle nous confrontons un monde constitué de particules élémentaires qui, dans le contexte de la mécanique quantique, doivent être aussi considérées comme des ondes (dualité onde-corpuscule). L'équation fondamentale qui décrit ce type de comportement est celle de Schrödinger. Le caractère hautement multi-dimensionnel de l'équation de Schrödinger justifie l'absence de solutions tant analytiques que numériques dans des configurations représentatives. Or la solution de cette équation nous permet d'évaluer la densité électronique [7], et par ailleurs le vrai potentiel inter-atomique. La détermination des potentiels inter-atomiques nous permet une compréhension plus fine de la structure et de la mécanique des matériaux à l'échelle nanométrique.

Jusqu'à présent, cette résolution n'a pas été possible et les scientifiques se sont contentés d'utiliser d'autres potentiels inter-atomiques, empiriques ou inspirés de la théorie quantique, dans le cadre des simulations de type dynamique moléculaire. La résolution efficace de l'équation de Schrödinger nécessite une résolution au préalable de certaines difficultés à caractère purement numérique dont nous avons commencé à établir les bases en présentant des stratégies spécifiques aux problèmes multidimensionnels.

La solution de l'équation de Schrödinger pourra apporter une compréhension au comportement des matériaux constitués de macromolécules où des liens forts au sein des molécules et faibles entre les molécules voisines sont rencontrés. Une réflexion sur l'interaction : structure - propriétés mécaniques à l'échelle de la molécule - propriétés à l'échelle d'un groupement de molécules (où des effets de confinement peuvent être présents) doit être menée.

Bibliographie sur le sujet

[1] Ammar A., Mokdad B., Chinesta F., Keunings R., «A new family of solvers for some classes of multidimensional partial differential equations encountered in kinetic theory modeling of complex fluids », Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, vol. 139, 2006, p. 153-176.

[2] Ammar A., Mokdad B., Chinesta F., Keunings R., «A new family of solvers for some classes of multidimensional partial differential equations encountered in kinetic theory modeling of complex fluids. Part II: transient simulation using space-time separated representation», Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, A paraître, 2007.

[3] Ammar A., Prulière E., Chinesta P., Laso M., «Reduced Numerical Modeling of Flow Involving Liquid-Crystalline Polymers», soumis au Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics.

[4] Bird R.B., Curtiss, C.F., Armstrong, R.C., Hassager, O., Dynamic of polymeric liquid, Volume 2: Kinetic Theory, John Wiley and Sons, 1987.

[5] Mokdad B., Pruliere E., Ammar A., Chinesta F., «On the simulation of kinetic theory models of complex fluids using the Fokker-Planck approach», Applied Rheology, A paraître, 2007.

[6] Ottinger H.C. Stochastic processes in polymeric fluids, Springer, 1996.

[7] Weiner J.H., Statistical mechanics of elasticity, Ed. Dover, 2002.

Laboratoire d'accueil

Laboratoire de Rhéologie - UMR 5520 / UJF / INPG

Directeur de thèse

Amine AMMAR

Co-direction

Chinesta Francisco, Laboratoire : LMSP, ENSAM Paris.